Lineære funktioner

Til Jacob i december 2016

Lineære funktioner

Hvis vi i et koordinatsystem kender to punkter, kan vi tegne en ret linie. For eksempel kan en ret linie tegnes mellem disse to punkter: (3,5) og (8,15) – det første tal i hver parentes er altid x-værdien, mens det andet tal er y-værdien i et koordinatsystem. Prøv at tegne denne rette linie i et koordinatsystem.

I matematik siger man, at en sådan ret linie er en graf for en lineær funktion, der altid skrives på denne måde: y = ax + b. Bogstavet b angiver det punkt i koordinatsystemet, hvor linien skærer y-aksen.  Bogstavet a er hældningskoefficienten, hvilket betyder, hvor stejl linien er.

Her er et eksempel: Vi skal tegne en graf for en lineær funktion, der ser således ud:
y = 1/2x + 1. Da b i denne formel er lig med 1 betyder det, at grafen skærer y-aksen i punktet 1. Da a = 1/2 betyder det, at stigningen er 1/2 – eller sagt anderledes: Hver gang du går 1 punkt (fx. 1 cm) til højre, så skal du 1/2 opad.
Når vi skal tegne denne linie i et koordinatsystem, så gør vi det sådan her:
  • Begynd med at sætte et mærke ved punktet 1 på y-aksen
  • Nu skal vi have afsat hældningen, og det gør du således: Fra punktet 1 går du 1 ud til højre og 1/2 opad. Der sætter du et nyt mærke.
Nu kan du tegne linie gennem de to punkter, du har afsat, og den kommer til at se således ud:
Billede indsat i tekst 1

Vi har også brug for at kunne gå den modsatte vej – altså en situation, hvor vi skal bestemme ligningen for en graf, vi kender. På højtideligt matematik-sprog hedder det, at vi skal finde regneforskriften for en lineær funktion, hvis graf vi kender.

Lad os se på det: Du får at vide, at en graf går gennem disse to punkter: (1,2) og (3,3). Prøv at tegne den på et stykke linieret papir.  Den skal se ud som den blå linie nedenfor. 

Vi ved, at i ligningen for en ret linie (y = ax + b) er a er hældningskoefficienten og b er skæringspunktet med y-aksen. Vi skal finde a og b, og det gør vi således:

  1. Du aflæser a ved at starte et tilfældigt sted på grafen. Så går man 1 hen ad x-aksen. Den ændring, der er på y-aksen er lig med a. I dette tilfælde er a = 0,5.
  2. Linien skærer y-aksen i punktet 1,5, og det betyder, at b = 1,5.
  3. Nu har vi altså, at a = 0,5 og b = 1,5, og så kan vi skrive linien således:                            y = ax + b –> y = 1/2 x + 1,5. 

Det lyder lidt indviklet, men i virkeligheden er det ret let, for det foregår på samme måde hver eneste gang, så det handler bare om at lære en metode.